“……完全解析阿列夫0后,我们深入了阿列夫数的世界,我们似乎从未碰到任何困难,或者说我们能够解决一切困难,超出我们能力范围的事情“神”会在梦里给予我们启示,一直以为这种一往无前是永恒的(事实上也的确如此),直到我们第一次“亲手触摸”到了那名为“阿列夫不动点”的超穷实体……
“神”于梦中之启示——
——历史上,康托尔那里并没有代表数的集合,所谓的等势这个词,一般理解为集合的大小,但这个大小并没有量化,两个集合的元素之间存在一一对应就说两个集合等势,但最多只能说数量一样而非数量多少,阿列夫数在康托那里就是个含糊不清的概念。康托之后,有个叫弗雷格的人用集合定义数,但它那里1就是所有外延为一个个体的概念的类,2就是外延为两个个体的概念的类,可以粗略理解为1就是所有可以表示为一个xx的概念事物的类。罗素悖论针对的就是它的这种定义,数都全是一堆真类了,而在现代,人们继承了两个集合一一对应表示数量一样的理念,特别是在用集合代表数之后,我们说一个集合有n个元素,就等于在说x可以和n一一对应,说一个集合是无穷集,那么它至少是可以和自然数集一一对应,
但是,如果说集合的数量就是与某个数一一对应,
{0,1,2,……}=w
是可以和
{0,1,2,……,w}=w+1
一一对应的。
只需要定义:
f(n)=n+1,f(w)=0
在集宇宙中,函数也是一个集合,上面定义的这个f就是一个无穷集,
{{w,0},{0,1},{1,2},{2,3},……}
f(n)=n+1
其实就是{n,n+1}的有序对,也直观表现了n和n+1的连线。
这里可以看到,w中的每个元素都可以和w+1中的元素配对。
看懂没?
被启示者:……呃,大概懂了……
——好,你下来写个w和w+2的一一对应。
被启示者:……{{0,w+1},{1,w},{2,0}……}。
——对,一个能和w一一对应的序数也被叫做可数无穷序数,对应的集合则是可数无穷集合。于是,一个集合x即可以和w一一对应,又可以和wxw一一对应,究竟哪个数才是x的数量?
直观上,基数应该具有这种特征:
比它大的数无法和它一一对应。
或者,
比它小的数无法和它一一对应。
在有限序数自然数的情况下,两个定义是等价的,但超限序数的情况下,每个a+1都能对应,所以是不可能的,于是只能选择第二个特征,比它小的序数无法和它一一对应,这样的序数就是基数,比如w,这也是第一个无穷基
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